1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=x+iy$, gdje su $x$ i $y$ realni brojevi. Tada slijedi

$$z^2=x^2-y^2+2ixy,\qquad (1+i)\overline z=(1+i)(x-iy)=x+y+i(x-y).$$

Uvrštavajući u početnu jednakost i uspoređujući realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja, dobivamo sustav

$$\begin{aligned} x^2-y^2&=x+y,\\ 2xy&=x-y. \end{aligned}$$

Iz prve jednakosti imamo $(x-y)(x+y)=x+y$, odnosno

$$(x-y-1)(x+y)=0.$$

U slučaju da je $x+y=0$, možemo izraziti $y=-x$ i uvrstiti u drugu jednadžbu sustava. Dobijemo $-2x^2=2x$, odakle dobivamo rješenja $x=0,-1$, tj. $z=0,-1+i$.

U slučaju da je $x-y-1=0$, izrazimo $y=x-1$ i uvrstimo ponovno u drugu jednadžbu. Dobijemo jednadžbu $2x(x-1)=1$ čija su rješenja $x=\frac{1+\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}$, odnosno

$$z=\frac{1+\sqrt3}{2}+i\frac{-1+\sqrt3}{2},\qquad \frac{1-\sqrt3}{2}+i\frac{-1-\sqrt3}{2}.$$

Dakle, rješenja početne jednadžbe su

$$z=0,-1+i,\frac{1+\sqrt3}{2}+i\frac{-1+\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}+i\frac{-1-\sqrt3}{2}.$$

Drugo rješenje.

Pomnožimo polaznu jednadžbu sa $z$. Dobivamo

$$z^3=(1+i)\cdot z\overline z=(1+i)|z|^2.$$

Usporedimo apsolutnu vrijednost lijeve i desne strane jednadžbe:

$$|z|^3=\sqrt2|z|^2,$$

odakle je $|z|=0$ ili $|z|=\sqrt2$.

U slučaju kada je $|z|=0$, jedino je moguće da je $z=0$, što zaista jest rješenje.

U slučaju kada je $|z|=\sqrt2$ dobivamo jednadžbu

$$z^3=(1+i)|z|^2=2+2i=2\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right).$$

Računajući treći korijen iz kompleksnog broja, dobivamo rješenja

$$\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right),\quad \sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right),\quad \sqrt2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right).$$

Konačno, sva rješenja su

$$z=0,\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right), \sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right), \sqrt2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right).$$

Napomena: Kao što je pokazano gore, dopušteno je rješenja zapisati i u klasičnom i u trigonometrijskom zapisu.