5. Zadatak

Nakon bojenja vanjskih strana velike kocke u crno, $8$ kockica ima $3$ bijele strane, $12$ kockica ima $4$ bijele strane, $6$ kockica ima $5$ bijelih strana te $1$ kockica ima $6$ bijelih strana.

Svaka od $27$ kockica može biti postavljena na $6$ različitih načina na stol (ovisno o tome koja joj je strana na stolu), pa je ukupan broj događaja jednak $27\cdot6$.

Samo kockice sa $5$ ili $6$ bijelih strana mogu biti stavljene na stol tako da je svih $5$ vidljivih strana bijelo. Kockica sa $6$ bijelih strana (samo je jedna takva) može biti postavljena na $6$ načina, dok bilo koja od $6$ kockica s $5$ bijelih strana može biti postavljena na točno jedan način na stol.

Zato je vjerojatnost da svih pet vidljivih strana kockice bude bijele boje jednaka

$$\frac{6\cdot1+1\cdot6}{27\cdot6}=\frac{2}{27}.$$

Označimo sa $S$ događaj kada odabrana kockica ima $6$ bijelih strana, te sa $H$ označimo događaj kada je odabrana kockica postavljena na stol tako da je svih $5$ vidljivih strana bijelo. Računamo uvjetnu vjerojatnost događaja $S$ pod uvjetom da se dogodio događaj $H$, odnosno

$$P(S\mid H)=\frac{P(S\cap H)}{P(H)}.$$

Primijetimo da je vjerojatnost $P(H)$ izračunata u (a) dijelu zadatka.

Vjerojatnost događaja $S\cap H$ jednaka je vjerojatnosti događaja $S$, jer ako se dogodio događaj $S$, onda se sigurno dogodio i događaj $H$. Ona iznosi $\frac1{27}$ (na stolu se nalazi jedina potpuno bijela kockica).

Konačno, imamo

$$P(S\mid H)=\frac{P(S\cap H)}{P(H)}=\frac{P(S)}{P(H)}=\frac{\frac1{27}}{\frac2{27}}=\frac12.$$