6. Zadatak

Ako je $x\leq0$, tada je $2^x\leq1<1+3^y$ pa jednadžba nema rješenja.

Ako je $y<0$, tada je $1<1+3^y<2$ pa jednadžba nema rješenja.

Ako je $y=0$, dobivamo $x=1$, pa je jedno rješenje početne jednadžbe $(1,0)$.

Pretpostavimo da je $x>0$ i $y>0$.

Kako je $2^x=3^y+1$, $2^x$ je oblika $3k+1$, što je moguće ako i samo ako je $x$ paran broj, tj. $x=2z$.

Sada je

$$\begin{aligned} 2^{2z}&=3^y+1\\ 2^{2z}-1&=3^y\\ (2^z-1)(2^z+1)&=3^y. \end{aligned}$$

Iz gornjeg slijedi

$$2^z-1=3^{y_1} \qquad \text{i} \qquad 2^z+1=3^{y_2},$$

gdje su $y_1,y_2\in\{0,1,2,\ldots\}$, $y_1+y_2=y$ i $y_1<y_2$.

Kako je

$$2=(2^z+1)-(2^z-1)=3^{y_2}-3^{y_1}=3^{y_1}(3^{y_2-y_1}-1),$$

to slijedi $y_1=0$, pa je $z=1$, odnosno dobivamo drugo rješenje $(x,y)=(2,1)$.

Dakle, jedina cjelobrojna rješenja su $(1,0)$ i $(2,1)$.