4. Zadatak

Iz $2x+7>0$, $3x+2>0$, $2x+7\neq1$, $3x+2\neq1$ slijedi da rješenje jednadžbe pripada skupu $\left\langle-\frac23,+\infty\right\rangle\setminus\left\{-\frac13\right\}$.

Kako je $4+12x+9x^2=(3x+2)^2$ i $6x^2+25x+14=(3x+2)(2x+7)$ dana se jednadžba može zapisati u obliku

$$2(\log_{2x+7}(3x+2))^2-3\log_{2x+7}(3x+2)+1=0.$$

Rješavanjem kvadratne jednadžbe dobivamo rješenja

$$\log_{2x+7}(3x+2)=1, \qquad \text{i} \qquad \log_{2x+7}(3x+2)=\frac12,$$

tj. dobivamo $x_1=5$, $x_2=\frac{-5+2\sqrt{13}}9$, $x_3=\frac{-5-2\sqrt{13}}9$.

Rješenje $x_3$ ne pripada skupu $\left\langle-\frac23,+\infty\right\rangle\setminus\left\{-\frac13\right\}$ pa su rješenja zadane jednadžbe $x_1=5$ i $x_2=\frac{-5+2\sqrt{13}}9$.