5. Zadatak

Tražimo prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$ tako da vrijedi

$$a\sqrt2+b\sqrt3+c\sqrt5=\sqrt{104\sqrt6+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2025}.$$

Kvadriranjem obiju strana dobivamo

$$2ab\sqrt6+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}+2a^2+3b^2+5c^2=104\sqrt6+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2025.$$

Kako su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi, izjednačavanjem članova uz odgovarajuće korijene imamo

$$2ab=104, \qquad 2ac=468, \qquad 2bc=144, \qquad 2a^2+3b^2+5c^2=2025$$

iz čega slijedi

$$ab=52, \qquad ac=234, \qquad bc=72.$$

Iz prve dvije jednadžbe slijedi

$$\frac bc=\frac{ab}{ac}=\frac{234}{52}=\frac{117}{26}$$

što zajedno s trećom daje

$$b\cdot\frac{117}{26}b=72\Rightarrow b=4.$$

Uvrštavanjem dobivenog slijedi $a=13$ i $c=18$.

Kako je

$$2a^2+3b^2+5c^2=2\cdot13^2+3\cdot4^2+5\cdot18^2=2006\neq2025,$$

zaključujemo da ne postoje traženi prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$. Drugim riječima, broj $\sqrt{104\sqrt6+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2025}$ ne može se zapisati u obliku $a\sqrt2+b\sqrt3+c\sqrt5$ za prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$.