7. Zadatak

S obzirom na to da je $x\geq1$ i $y\geq1$, imamo

$$p=\frac{16}{x}+\frac{25}{y}\leq16+25=41.$$

Kako je $p\geq5$ prost broj, jedine su dopuštene vrijednosti

$$p\in\{5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41\}.$$

S druge strane, početna jednadžba ekvivalentna je sljedećoj

$$(px-16)(py-25)=400=5^2\cdot2^4. \tag{1}$$

Pokažimo najprije da za sve moguće izbore prostih brojeva $p$ faktori $px-16$ i $py-25$ ne mogu biti negativni. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da postoji prost broj $p\geq5$ i prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da je $px-16<0$. Kako je $p\geq5$ i $x\geq1$ slijedi

$$px-16\geq-11$$

pa mora vrijediti

$$px-16\in\{-1,-2,-4,-5,-8,-10\}.$$

Uvrštavanjem dobivenih faktora u jednadžbu $(1)$ slijedi $py<0$ za sve moguće vrijednosti, a to nije moguće pa smo dobili kontradikciju. Prema tome, $px-16$ i $py-16$ moraju biti pozitivni djelitelji broja $400$ koji u produktu daju upravo $400$.

Tako definiranih produkata ima ukupno $15$.

Razmotrimo svaki slučaj zasebno:

• $px-16=1$, $py-25=400$ $\Rightarrow$ $p=17$, $x=1$, $y=25$
• $px-16=2$, $py-25=200$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=4$, $py-25=100$ $\Rightarrow$ $p=5$, $x=4$, $y=25$
• $px-16=5$, $py-25=80$ $\Rightarrow$ $p=7$, $x=3$, $y=15$
• $px-16=8$, $py-25=50$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=10$, $py-25=40$ $\Rightarrow$ $p=13$, $x=2$, $y=5$
• $px-16=16$, $py-25=25$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=20$, $py-25=20$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=25$, $py-25=16$ $\Rightarrow$ $p=41$, $x=1$, $y=1$
• $px-16=40$, $py-25=10$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=50$, $py-25=8$ $\Rightarrow$ $p=11$, $x=6$, $y=3$
• $px-16=80$, $py-25=5$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=100$, $py-25=4$ $\Rightarrow$ $p=29$, $x=4$, $y=1$
• $px-16=200$, $py-25=2$ $\Rightarrow$ nema rješenja
• $px-16=400$, $py-25=1$ $\Rightarrow$ nema rješenja.

Zaključujemo da su jedine moguće vrijednosti prostog broja $p$

$$5,7,11,13,17,29,41.$$