2. Zadatak

Rješenje 1. Iz $\cos\alpha=\operatorname{tg}\alpha$, slijedi $\cos^2\alpha=\sin\alpha$, pa uvrštavanjem u osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ dobivamo

$$\sin\alpha+\sin^2\alpha=1.$$

Supstitucijom $x=\sin\alpha$ rješavamo kvadratnu jednadžbu $x^2+x-1=0$ čija su rješenja $x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$.

Kako je $\sin\alpha=\cos^2\alpha$, to je jedino rješenje $\sin\alpha=\frac{-1+\sqrt5}{2}$.

Sada je

$$\cos^4\alpha=\frac{3-\sqrt5}{2}$$

pa je

$$\frac1{\sin\alpha}+\cos^4\alpha=2.$$

Rješenje 2. Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ dijeleći s $\cos^2\alpha$ i koristeći pretpostavku $\cos\alpha=\operatorname{tg}\alpha$ dobivamo

$$\operatorname{tg}^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}=\frac1{\operatorname{tg}^2\alpha},$$ $$\operatorname{tg}^4\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha=1.$$

S druge strane, za traženi izraz vrijedi

$$\begin{aligned} \frac1{\sin\alpha}+\cos^4\alpha &=\frac1{\cos^2\alpha}+\cos^4\alpha\\ &=\frac1{\operatorname{tg}^2\alpha}+\operatorname{tg}^4\alpha\\ &=(\operatorname{tg}^2\alpha+1)+\operatorname{tg}^4\alpha\\ &=(\operatorname{tg}^4\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha)+1\\ &=1+1\\ &=2. \end{aligned}$$