1. Zadatak

Rješenje 1. Kako je

$$\begin{aligned} \overline{aaa}&=100a+10a+a=111a,\\ \overline{aab}&=100a+10a+b=110a+b,\\ \overline{abb}&=100a+10b+b=100a+11b,\\ \overline{bbb}&=100b+10b+b=111b, \end{aligned}$$

početni uvjet sada postaje

$$321a+123b=1503\Rightarrow41b=501-107a.$$

S obzirom na to da su $a$ i $b$ znamenke, uvrštavanjem dobivamo:

$$\begin{aligned} a=1&\Rightarrow b=\frac{394}{41}\notin\mathbb N,\\ a=2&\Rightarrow b=\frac{287}{41}=7,\\ a=3&\Rightarrow b=\frac{180}{41}\notin\mathbb N,\\ a=4&\Rightarrow b=\frac{73}{41}\notin\mathbb N,\\ a>4&\Rightarrow b<0. \end{aligned}$$

Zaključujemo da je jedino rješenje $(a,b)=(2,7)$ pa je

$$a^b+b^a=2^7+7^2=177.$$

Rješenje 2. Jednadžbu možemo zapisati na sljedeći način

$$300a+100b+20a+20b+a+3b=1503.$$

Znamenka jedinica na desnoj strani je $3$, što znači da $a+3b$ mora završiti tom znamenkom, pa su jedine mogućnosti za taj zbroj $3$, $13$ i $23$. Ispitajmo sada svaki mogući slučaj znamenke $b$:

Ako je $b=0$, onda $a$ mora biti jednako $3$, a to nije moguće jer je tada lijeva strana jednaka $963$.

Ako je $b=1$, onda $a$ mora biti jednako $0$, što daje manji broj od $1503$.

Ako je $b=2$, onda $a$ mora biti jednako $7$, što daje veći broj od $1503$. Ako je $b=3$, onda $a$ mora biti jednako $4$, što daje veći broj od $1503$.

Ako je $b=4$, onda $a$ mora biti jednako $1$, što daje manji broj od $1503$.

Ako je $b=5$, onda $a$ mora biti jednako $7$, što daje veći broj od $1503$.

Ako je $b=6$, onda $a$ mora biti jednako $5$, što daje veći broj od $1503$.

Ako je $b=7$, onda $a$ mora biti jednako $2$, i u ovom slučaju dobivamo $1503$.

Ako je $b=8$, onda $a$ mora biti jednako $9$, što daje veći broj od $1503$.

Ako je $b=9$, onda $a$ mora biti jednako $6$, što daje veći broj od $1503$.

Prema tome, jedino je rješenje $a=2$, $b=7$ pa je $a^b+b^a=2^7+7^2=128+49=177$.