2. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo da promatrani izraz ima smisla samo za $z\ne0$. Uvrstimo li $z=x+yi$, pri čemu su $x,y\in\mathbb{R}$, dobivamo

$$\begin{aligned} \frac{\overline z}{z}+\frac{z}{\overline z} &=\frac{x-yi}{x+yi}+\frac{x+yi}{x-yi}\\ &=\frac{(x-yi)^2+(x+yi)^2}{(x+yi)(x-yi)}\\ &=\frac{x^2-2xyi-y^2+x^2+2xyi-y^2}{x^2+y^2}\\ &=\frac{2(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\\ &=\frac{2(x^2+y^2)-4y^2}{x^2+y^2} =2-\frac{4y^2}{x^2+y^2}. \end{aligned}$$

Da bi ovaj izraz bio prirodan broj, vrijednost izraza $\frac{4y^2}{x^2+y^2}$ mora biti $0$ ili $1$.

U prvom slučaju je $y=0$ i $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

U drugom slučaju je $x^2+y^2=4y^2$, tj. $x=\pm y\sqrt3$, $x\ne0$.

Konačno rješenje je

$$z\in\{x\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\} \cup\{x(\pm\sqrt3+i)\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, za $z=x+yi\ne0$ dobivamo

$$\frac{\overline z}{z}+\frac{z}{\overline z}=\frac{2(x^2-y^2)}{x^2+y^2}.$$

Pretpostavimo da je taj izraz jednak prirodnom broju $k$. Tada je

$$2(x^2-y^2)=k(x^2+y^2),\qquad\text{tj.}\qquad (2-k)x^2=(2+k)y^2.$$

Ako je $k=2$, onda je $y=0$ i $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Ako je $k\ne2$, onda mora biti $y\ne0$ i možemo pisati

$$\frac{x^2}{y^2}=\frac{4}{2-k}-1.$$

Budući da je $\frac{x^2}{y^2}\ge0$, slijedi da je $\frac{4}{2-k}\ge1$, pa je $2-k>0$. Kako je $k$ prirodan broj, mora vrijediti $k=1$.

U tom slučaju je $2(x^2-y^2)=x^2+y^2$, tj. $x^2=3y^2$.

Konačno rješenje je

$$z\in\{x\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\} \cup\{x(\pm\sqrt3+i)\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}.$$