5. Zadatak
U svaki vrh pravilnog 50-erokuta je upisan ili broj ili broj . Ni za koja tri uzastopna vrha upisani brojevi nisu jednaki, a ukupno je dvadeset puta upisan broj i trideset puta upisan broj . Za svaki vrh izračunamo umnožak broja u tom vrhu s brojevima u dvama susjednim vrhovima, a zatim zbrojimo sve takve umnoške. Dokaži da rezultat ne ovisi o rasporedu brojeva i te odredi taj rezultat.
Rješenje
Prvo rješenje.
Budući da nikoja tri uzastopna broja nisu jednaka, svaki umnožak se sastoji od dvije jedinice i jedne dvojke ili od dvije dvojke i jedne jedinice.
Trojke s dvije jedinice i jednom dvojkom imaju umnožak jednak . Označimo broj takvih trojki s . Trojke s jednom jedinicom i dvije dvojke imaju umnožak jednak . Označimo broj takvih trojki s .
U trojki ima po dvije jedinice, a u trojki po jedna. U svim trojkama stoga ima jedinica, a pritom smo svaku jedinicu brojali 3 puta, pa je
U trojki ima po jedna dvojka, a u trojki po dvije. U svim trojkama stoga ima dvojki, a pritom smo svaku od njih brojali 3 puta, pa je
Dakle, dobili smo linearni sustav
Rješavanjem dobivamo i .
Stoga je ukupni zbroj umnožaka po tri uzastopna broja jednak
Drugo rješenje.
Kao u prvom rješenju uočimo da će svaki umnožak biti oblika ili . Primijetimo da je
tj. za svaku trojku uzastopnih brojeva , , vrijedi
Zato je zbroj svih umnožaka jednak dvostrukom zbroju svih zbrojeva od po tri uzastopna broja umanjenom za .
Budući da se svaki broj pojavljuje u točno tri trojke uzastopnih brojeva, zbroj svih zbrojeva od po tri uzastopna broja je jednak trostrukom zbroju svih brojeva.
Zato je traženi broj jednak
Napomena. Ako učenik napiše jedan primjer rasporeda jedinica i dvojki tražen u zadatku (npr. ) i na temelju toga izračuna da je traženi rezultat treba dobiti 2 boda.