4. Zadatak

Neka je $a=|AB|$ i $b=|BC|$. Zbog simetrije je $KM\parallel AB$ i $LN\parallel BC$, odnosno $KM\perp LN$ pa je

$$P(KLMN)=\frac12|KM|\cdot|LN|.$$

Prema KKK-poučku, trokuti $PQL$ i $CDL$ su slični i koeficijent sličnosti je

$$\frac{|PQ|}{|CD|}=\frac13.$$

Označimo li sa $S_1$ i $S_2$ polovišta dužina $AB$ (i $PQ$) i $CD$, vrijedi

$$|S_1L|=\frac14|S_1S_2|.$$

Budući da je $N$ polovište dužine $S_1S_2$, vrijedi

$$|NL|=\frac14|S_1S_2|=\frac14b.$$

Prema KKK-poučku, trokuti $AQK$ i $CDK$ su slični i koeficijent sličnosti je

$$\frac{|AQ|}{|CD|}=\frac23.$$

Zato je omjer duljina visina iz vrha $K$ u trokutima $AQK$ i $CDK$ jednak $2:3$, pa je duljina visine iz vrha $K$ u trokutu $CDK$ jednaka $\frac35b$.

Također prema KKK-poučku, trokuti $CKM$ i $CAP$ su slični, a koeficijent sličnosti je jednak omjeru duljina njihovih visina, odnosno $3:5$.

Zato je

$$|KM|=\frac35|AP|=\frac35\cdot\frac a3=\frac15a.$$

Iz svega slijedi

$$P(KLMN)=\frac12|KM|\cdot|LN|=\frac12\cdot\frac a5\cdot\frac b4=\frac1{40}P(ABCD).$$