1. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $n$ djeljiv s $3$, tj. $n=3k$ za neki $k\in\mathbb{N}$, onda je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva

$$S=(1+2+3)+(4+5+6)+\cdots+((3k-2)+(3k-1)+3k)$$

djeljiv s $3$ jer je zbroj u svakoj zagradi djeljiv s $3$.

Slično, ako je $n=3k+1$ za neki $k\in\mathbb{N}$, onda zbroj

$$S=(1+2+3)+(4+5+6)+\cdots+((3k-2)+(3k-1)+3k)+(3k+1)$$

daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$.

Ako je $n=3k+2$ za neki $k\in\mathbb{N}$, onda je zbroj

$$S=(1+2+3)+(4+5+6)+\cdots+((3k-2)+(3k-1)+3k)+(3k+1)+(3k+2)$$

također djeljiv s $3$.

Ni u jednom slučaju $S+1$ nije višekratnik broja $3$.

Drugo rješenje.

Neka je $S=1+2+\cdots+n$. Tada je

$$\begin{aligned} 2S&=1+2+\cdots+n\\ &\quad+n+(n-1)+\cdots+1\\ &=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1). \end{aligned}$$

Zato je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva jednak

$$S=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Ako je $n$ ili $n+1$ djeljiv s $3$, onda je i $S$ djeljiv s $3$, pa $S+1$ nije višekratnik broja $3$.

U suprotnom je $n+2$ djeljiv s $3$, tj. $n$ je oblika $3k-2$ za neki prirodan broj $k$. Tada je

$$S=\frac{(3k-2)(3k-1)}{2}=\frac{9k^2-9k+2}{2}=\frac{9k(k-1)}{2}+1.$$

Budući da je $\frac{3k(k-1)}{2}$ cijeli broj, slijedi da u ovom slučaju $S+1$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$, tj. nije višekratnik broja $3$.

Napomena. Ako učenik napiše formulu $S=\frac{n(n+1)}2$ bez dokaza također treba dobiti 2 boda za tu tvrdnju.