1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je razlika aritmetičkog niza $d$.

Tada su prva četiri broja $-2$, $-2+d$, $-2+2d$, $-2+3d$.

Kako su $-2+2d$, $-2+3d$ i $6$ uzastopni članovi geometrijskog niza, vrijedi

$$\frac{6}{-2+3d}=\frac{-2+3d}{-2+2d}.$$

Sređivanjem dobivamo

$$(-2+3d)^2=6(-2+2d),$$

odnosno

$$9d^2-24d+16=0.$$

Odakle je $d=\frac43$.

Nikola je zamislio brojeve

$$-2,-\frac23,\frac23,2,6.$$

Drugo rješenje.

Neka je kvocijent geometrijskog niza $\frac1q$.

Zadnja tri broja čine geometrijski niz, pa su četvrti i treći zamišljeni broj redom $6q$ i $6q^2$. No, to su ujedno zadnja dva člana aritmetičkog niza, što znači da je razlika aritmetičkog niza jednaka

$$d=6q-6q^2.$$

Razlika trećeg i prvog broja jednaka je $2d$. Zato imamo

$$-2+2(6q-6q^2)=6q^2.$$

Rješavanjem dobivamo $q=\frac13$.

Nikola je zamislio brojeve

$$-2,-\frac23,\frac23,2,6.$$

Treće rješenje.

Neka su brojevi koje je Nikola zamislio redom $-2$, $x$, $y$, $z$, $6$.

Budući da zadnja tri broja čine geometrijski niz, vrijedi $z^2=6y$.

Prva četiri broja čine aritmetički niz, pa je

$$y-(-2)=2(z-y),$$

odnosno $3y=2z-2$.

Zato je

$$z^2=6y=4z-4,$$

iz čega slijedi $(z-2)^2=0$, tj. $z=2$.

Zbog $3y=2z-2$ i $z+x=2y$ jest $x=-\frac23$, $y=\frac23$.

Nikola je zamislio brojeve

$$-2,-\frac23,\frac23,2,6.$$