6. Zadatak

Prvo rješenje.

Postavimo koordinatni sustav tako da je pravac $y=0$ os parabole. Tada je jednadžba parabole $y^2=2px$. Tangente na parabolu kroz točke $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ i $C(x_C,y_C)$ imaju jednadžbe

$$t_A\colon y_Ay=px+px_A,\qquad t_B\colon y_By=px+px_B,\qquad t_C\colon y_Cy=px+px_C.$$

Točka $K$ je sjecište tangenti $t_A$ i $t_B$, pa rješavanjem sustava koji se sastoji od prve dvije jednadžbe dobivamo

$$y_K=\frac{p(x_A-x_B)}{y_A-y_B},\qquad x_K=\frac{y_A(x_A-x_B)}{y_A-y_B}-x_A.$$

Paralela s osi parabole koja prolazi kroz točku $B$ ima jednadžbu $y=y_B$, a pravac $AC$ ima jednadžbu

$$(x_C-x_A)(y-y_A)=(y_C-y_A)(x-x_A).$$

Koordinate točke $N$ su $y_N=y_B$ i

$$x_N=\frac{(y_B-y_A)(x_C-x_A)}{y_C-y_A}+x_A.$$

Dakle, imamo točku

$$N=\left(\frac{(y_B-y_A)(x_C-x_A)}{y_C-y_A}+x_A,y_B\right).$$

Kako točke $A$, $B$ i $C$ leže na paraboli, vrijedi

$$x_A=\frac{y_A^2}{2p},\qquad x_B=\frac{y_B^2}{2p},\qquad x_C=\frac{y_C^2}{2p}.$$

Uvrštavanjem u koordinate točke $K$ dobivamo

$$K=\left(\frac{y_Ay_B}{2p},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Analogno dobivamo

$$L=\left(\frac{y_Cy_A}{2p},\frac{y_C+y_A}{2}\right),\qquad M=\left(\frac{y_By_C}{2p},\frac{y_B+y_C}{2}\right).$$

Uvrštavanjem u koordinate točke $N$ dobivamo

$$N=\left(\frac{y_Ay_B+y_By_C-y_Ay_C}{2p},y_B\right).$$

Na kraju,

$$\begin{aligned} |MN|^2 &=(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2\\ &=\frac{1}{4p^2}(y_Ay_B-y_Ay_C)^2+\frac14(y_B-y_C)^2\\ &=(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2=|KL|^2. \end{aligned}$$

Time smo dobili da je $|MN|=|KL|$, a analogno se dobije da je $|KN|=|LM|$, čime smo dokazali da je četverokut $KLMN$ paralelogram.

Napomena: U zadnjem koraku smo zapravo izračunali vektore

$$\overrightarrow{KL}=\left(\frac{y_Ay_C-y_Ay_B}{2p},\frac{y_C-y_B}{2}\right)=\overrightarrow{NM},$$

što je dovoljno da bismo zaključili da je $KLMN$ paralelogram.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju dolazimo do koordinata točaka

$$K=\left(\frac{y_Ay_B}{2p},\frac{y_A+y_B}{2}\right),\quad L=\left(\frac{y_Ay_C}{2p},\frac{y_A+y_C}{2}\right),$$ $$M=\left(\frac{y_By_C}{2p},\frac{y_B+y_C}{2}\right),\quad N=\left(\frac{y_Ay_B+y_By_C-y_Ay_C}{2p},y_B\right).$$

Da bismo dokazali da je četverokut $KLMN$ paralelogram, dovoljno je dokazati da se njegove dijagonale raspolavljaju, tj. da se polovišta dužina $LN$ i $KM$ podudaraju.

Direktnim računom možemo utvrditi da vrijedi

$$\left(\frac{x_L+x_N}{2},\frac{y_L+y_N}{2}\right) =\left(\frac{y_By_A+y_By_C}{4p},\frac{y_A+2y_B+y_C}{4}\right) =\left(\frac{x_K+x_M}{2},\frac{y_K+y_M}{2}\right),$$

čime je tvrdnja dokazana.

Treće rješenje.

Kao u prvom rješenju dolazimo do koordinata točaka

$$K=\left(\frac{y_Ay_B}{2p},\frac{y_A+y_B}{2}\right),\quad L=\left(\frac{y_Ay_C}{2p},\frac{y_A+y_C}{2}\right),$$ $$M=\left(\frac{y_By_C}{2p},\frac{y_B+y_C}{2}\right),\quad N=\left(\frac{y_Ay_B+y_By_C-y_Ay_C}{2p},y_B\right).$$

Da bismo dokazali da je četverokut $KLMN$ paralelogram, dovoljno je provjeriti da su mu stranice paralelne, tj. da je $KN\parallel LM$ i $KL\parallel MN$.

Pravac $KL$ je tangenta u točki $A$. Ako je $y_A=0$, onda je $t_A$ okomit na $x$-os. Tada su $x$-koordinate točaka $M$ i $N$ jednake $\frac{y_By_C}{2p}$, pa je $MN$ okomit na $x$-os i $KL\parallel MN$.

Ako je $y_A\ne0$, onda $KL$ ima koeficijent smjera jednak $\frac{p}{y_A}$, a pravac $MN$ ima koeficijent smjera jednak

$$\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M} =\frac{\frac{y_B-y_C}{2}}{\frac{y_A(y_B-y_C)}{2p}} =\frac{p(y_B-y_C)}{y_A(y_B-y_C)} =\frac{p}{y_A}.$$

Usporedbom njihovih koeficijenata smjera zaključujemo da je $KL\parallel MN$. Analogno dokazujemo $LM\parallel KN$.

Napomena: Tvrdnja zadatka ne ovisi o međusobnom odnosu točaka $A$, $B$ i $C$, što se vidi iz rješenja.