2. Zadatak

Zbog jednostavnosti zapisa uvedimo oznaku

$$A_n=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\sqrt{(n-2)+\cdots+\sqrt{2+\sqrt1}}}}.$$

Nejednakost ćemo dokazati matematičkom indukcijom.

Baza: Za $n=1$ vrijedi $A_1=\sqrt1=1<\sqrt1+1$.

Korak: Pretpostavimo da za neki prirodan broj $n$ vrijedi $A_n<\sqrt n+1$. Vrijedi

$$A_{n+1}=\sqrt{n+1+A_n}.$$

Zbog pretpostavke indukcije zaključujemo

$$A_{n+1}<\sqrt{n+1+\sqrt n+1}<\sqrt{n+1+2\sqrt{n+1}+1}.$$

Nadalje,

$$\sqrt{n+1+2\sqrt{n+1}+1} =\sqrt{(\sqrt{n+1}+1)^2}=\sqrt{n+1}+1.$$

Budući da je $A_1<\sqrt1+1$ i da iz $A_n<\sqrt n+1$ slijedi $A_{n+1}<\sqrt{n+1}+1$, po principu matematičke indukcije zaključujemo da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi $A_n<\sqrt n+1$.