3. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrstimo li $x=1$ u jednakost $y=x^2+ax+(2014-a)$, dobit ćemo $y=2015$ za bilo koji realni broj $a$. Zato sve parabole prolaze točkom $(1,2015)$.

Drugo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ različiti realni brojevi. Parabole $P_a$ i $P_b$ sijeku se u točki $(x,y)$ koja zadovoljava sustav

$$\begin{cases} y=x^2+ax+(2014-a),\\ y=x^2+bx+(2014-b). \end{cases}$$

Oduzimanjem tih jednadžbi dobivamo $0=(a-b)x-(a-b)$, odnosno

$$(a-b)(x-1)=0.$$

Zato je presjek te dvije parabole točka $(x,y)=(1,2015)$. Budući da su $a$ i $b$ proizvoljni realni brojevi, zaključujemo da sve parabole prolaze točkom $(1,2015)$.

Treće rješenje.

Promotrimo parabole $P_a$ za dva konkretna broja $a$, recimo $a=2014$ i $a=0$. Njihovo sjecište je točka $(x,y)$ koja zadovoljava sustav

$$\begin{cases} y=x^2+2014x,\\ y=x^2+2014. \end{cases}$$

Oduzimanjem tih jednadžbi dobivamo $2014(x-1)=0$, tj. $x=1$ i $y=2015$.

Uvrštavanjem dobivene točke $(1,2015)$ u jednadžbu $y=x^2+ax+(2014-a)$ dobivamo

$$2015=1+a+(2014-a),$$

što zaista vrijedi za sve $a\in\mathbb R$. Dakle, točka $(1,2015)$ leži na svim promatranim parabolama.