7. Zadatak

Uočimo da se najveći broj na ploči ni u jednom koraku ne može povećati, jer za nenegativne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$|x-y|\le\max\{x,y\}.$$

Budući da su na početku na ploči zapisani brojevi $1,2,\ldots,2014$, nakon prvog koraka najveći mogući broj na ploči je $2013$, a najmanji mogući je $1$.

To znači da je nakon drugog koraka najveći mogući broj na ploči $2012$, pa broj koji ostane na kraju ne može biti veći od $2012$.

Tvrdimo da je najveći broj koji može ostati na ploči broj $2012$.

Treba još pokazati da se to zaista može dogoditi.

Ako Višnja na početku zapiše brojeve u ovakvom poretku:

$$2014,1,2,3,\ldots,2012,2013,$$

tada su nakon prvog koraka na ploči brojevi

$$2013,1,1,\ldots,1,1,$$

a nakon drugog koraka

$$2012,0,0,\ldots,0.$$

U svakom sljedećem koraku je jedna nula manje, dok na kraju na ploči ne ostane samo broj $2012$.