5. Zadatak

Dokaži da u skupu od devet prirodnih brojeva, od kojih ni jedan nema prostog djeljitelja većeg od $6$ , postoje dva broja čiji je umnožak potpun kvadrat (kvadrat nekog prirodnog broja).

Rješenje

Jedini mogući prosti djelitelji danih devet brojeva su $2$ , $3$ i $5$ , pa se radi o brojevima oblika

2^a\cdot3^b\cdot5^c.

Razvrstajmo te brojeve u klase, ovisno o parnosti pojedinih eksponenata:

$a$	$b$	$c$
paran	paran	paran
paran	paran	neparan
paran	neparan	paran
paran	neparan	neparan
neparan	paran	paran
neparan	paran	neparan
neparan	neparan	paran
neparan	neparan	neparan

Tih klasa ima $2^3=8$ . Broj je potpun kvadrat ako i samo ako su u njegovom rastavu na proste faktore svi eksponenti parni. Lako se vidi da umnožak dva broja iz različitih klasa nije potpun kvadrat i da je umnožak dva broja koja pripadaju istoj klasi uvijek potpun kvadrat.

Kako je dano devet brojeva, po Dirichletovom principu barem u jednoj klasi nalaze se barem dva broja. Njihov umnožak je potpun kvadrat.