3. Zadatak

Označimo s $a$ i $b$ duljine stranica, a sa $d$ duljinu dijagonale danog pravokutnika. Vrijedi $a^2+b^2=d^2$, a treba dokazati da je $ab$ djeljivo s $12$.

Najprije ćemo dokazati da je jedan od brojeva $a$ i $b$ djeljiv s $3$ (pa je i $ab$ djeljivo s $3$). Pretpostavimo suprotno, da nijedan od brojeva $a$ i $b$ nije djeljiv s $3$. Takvi brojevi daju ostatak $1$ ili $2$ pri dijeljenju s $3$, a njihovi kvadrati $a^2$ i $b^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$. No, to znači da $d^2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$, što je nemoguće.

Sada dokažimo da je $ab$ djeljivo s $4$. Promotrimo tri različita slučaja.

1. slučaj. Ako su $a$ i $b$ oba parni, tvrdnja očito vrijedi.

2. slučaj. Neka su brojevi $a$ i $b$ neparni. Tada $a^2$ i $b^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$ pa $d^2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $4$, a to ne može biti.

3. slučaj. Neka su sada $a$ i $b$ različite parnosti. Bez smanjenja općenitosti, uzmimo da je $a$ neparan, a $b$ paran. Tada je $d$ očito neparan pa možemo staviti

$$a=2k+1,\qquad b=2l,\qquad d=2m+1$$

za neke prirodne brojeve $k,l,m$. Imamo

$$(2k+1)^2+(2l)^2=(2m+1)^2,$$ $$4k^2+4k+1+4l^2=4m^2+4m+1,$$ $$k(k+1)+l^2=m(m+1).$$

Brojevi $k(k+1)$ i $m(m+1)$ su parni pa onda i $l^2$ mora biti paran, što znači da je $l$ paran, a to znači da je $b$ djeljiv s $4$ pa je i $ab$ djeljiv s $4$.

Konačno zaključujemo da je broj $ab$ djeljiv s $3\cdot4=12$.