2. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz formule za kub zbroja

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$$

slijedi

$$3xy(x+y)=(x+y)^3-(x^3+y^3).$$

Uvrštavanjem $x+y=1$ i $x^3+y^3=13$ imamo

$$3xy=1^3-13=-12,$$

odnosno $xy=-4$.

Sada iz formule za kvadrat zbroja $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ uvrštavanjem $x+y=1$ i $xy=-4$ imamo

$$1^2=x^2+y^2+2\cdot(-4)=x^2+y^2-8,$$

odnosno $x^2+y^2=1+8=9$.

Drugo rješenje.

Iz formule za zbroj kubova

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$

i uvjeta zadatka slijedi

$$x^2-xy+y^2=1\cdot(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=13.$$

Kvadriranjem uvjeta $x+y=1$ slijedi

$$x^2+2xy+y^2=1,$$

pa oduzimanjem slijedi $3xy=-12$, tj. $xy=-4$.

Sada iz $x^2-xy+y^2=13$ dobivamo $x^2+y^2=13+xy=13-4=9$.

Napomena. Nije potrebno izračunati vrijednosti $x$ i $y$. Budući da je $x+y=1$ i $xy=-4$, te vrijednosti su rješenja jednadžbe $t^2-t-4=0$, a iznose $\frac{1\pm\sqrt{17}}2$.