5. Zadatak

Zbroj veličina svih kutova pravilnog peterokuta je $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$. Prema tome, svaki unutarnji kut u pravilnom peterokutu je veličine $108^\circ$.

Budući da je trokut $ABF$ jednakostraničan, vrijedi

$$\angle EAF=\angle EAB-\angle FAB=108^\circ-60^\circ=48^\circ.$$

Nadalje, zbog $|AE|=|AB|=|AF|$ vrijedi da je trokut $AEF$ jednakokračan, pa vrijedi

$$\angle AEF=\angle AFE=\frac{180^\circ-48^\circ}{2}=66^\circ.$$

Slijedi

$$\angle DEF=\angle DEA-\angle AEF=108^\circ-66^\circ=42^\circ.$$

Trokuti $DEF$ i $DCF$ su osnosimetrični s obzirom na pravac $DF$, pa su sukladni.

Slijedi $2\angle FDE=\angle FDE+\angle FDC=\angle CDE=108^\circ$, odnosno $\angle FDE=54^\circ$.

Preostaje izračunati $\angle DFE=180^\circ-\angle DEF-\angle FDE=180^\circ-42^\circ-54^\circ=84^\circ$.

Kutovi trokuta $DEF$ su $54^\circ$, $42^\circ$ i $84^\circ$.

Napomena. Umjesto sukladnosti trokuta $DEF$ i $DCF$ može se argumentirati da je pravac $DF$ simetrala kuta $\angle AFB$, te onda izračunati $\angle DFE=180^\circ-66^\circ-30^\circ$, a na kraju odrediti $\angle FDE$.