3. Zadatak
Dino, Pino i Tino idu u isti vrtić. Za igru svaki dječak treba dvije kockice iste boje, ali nije nužno da kockice koje imaju različiti dječaci budu različite boje. Odgojiteljica u jednoj ladici ima crvene, plave i zelene kockice. Ako izvlači bez gledanja, koliko najmanje kockica treba izvući iz ladice da bi bila sigurna da će od tih kockica svaki dječak moći uzeti dvije istobojne kockice?
Prvo rješenje.
Svake dvije kockice iste boje čine par. Stoga, u svakoj boji odgojiteljica izvlači neki broj parova i najviše još jednu kockicu. Ako bi odgojiteljica izvukla kockice među kojima nema tri para, onda bi broj parova mogao biti najviše dva, te bi uz ta dva para mogla biti najviše po jedna kockica u svakoj boji. Dakle, najveći mogući broj kockica među kojima nema tri para je . To znači da ako odgojiteljica izvuče kockica, među njima će sigurno biti tri para.
Također, ako odgojiteljica izvuče ili manje kockica, moguće je da neće imati tri para. Na primjer, mogla bi izvući crvene, plave i zelenu kockicu.
Dakle, odgovor je .
Napomena. Ovaj način razmišljanja pokazuje da bi u slučaju da je broj djece , a broj boja , bilo potrebno izvući kockica kako bismo bili sigurni da će svako dijete moći uzeti par istobojnih kockica.
Drugo rješenje.
Točan odgovor je .
Ako odgojiteljica izvuče sedam kockica, one mogu biti raspoređene tako da su po tri kockice u prvoj i drugoj boji, a jedna kockica u trećoj. U tom slučaju odgojiteljica može spojiti samo dva istobojna para kockica, ali ne i tri.
Pretpostavimo da je odgojiteljica izvukla osam kockica i dokažimo da tada sigurno postoje tri istobojna para. Označimo s broj kockica u najzastupljenijoj boji (pri čemu je moguće da su dvije boje jednako zastupljene). Razlikujemo slučajeve:
- Ako je , onda je jedini mogući raspored kockica po bojama pa postoji po jedan par svake boje.
- Ako je ili , onda postoje dva para u toj boji. Prema Dirichletovom principu, od preostale četiri ili tri kockice u dvije boje sigurno postoji barem jedan istobojni par.
- Ako je ili više, onda postoje tri para kockica u toj boji.
U svakom slučaju vidimo da za osam ili više kockica sigurno postoje tri istobojna para.