3. Zadatak

Neka su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, i neka je $a$ srednja po duljini. Tada vrijedi $2a=b+c$. Opseg trokuta jednak je $3a$.

Neka je $T$ težište trokuta, $N$ nožište visine na stranicu duljine $a$, a $K$ nožište okomice iz točke $T$ na stranicu duljine $a$. Označimo s $v$ duljinu visine na tu stranicu, s $r$ polumjer upisane kružnice trokuta, a s $P$ njegovu površinu.

Tada, zbog sličnosti trokuta $TKP$ i $ANP$, vrijedi $|TK|=\dfrac13v$.

Kako je $P=\dfrac12av=rs$, gdje smo sa $s$ označili poluopseg trokuta, slijedi $v=\dfrac{2P}a=\dfrac{2rs}a=\dfrac{2r\cdot\frac{3a}2}a=3r$.

Stoga je $|TK|=r$, što upravo znači da središte upisane kružnice i težište trokuta leže na pravcu koji je paralelan sa stranicom duljine $a$.