1. Zadatak

Da bi funkcija $f_1(x)$ imala maksimum, mora biti $k-8<0$, tj. $k<8$, a da bi funkcija $f_2(x)$ imala minimum, mora biti $k-4>0$, tj. $k>4$.

Maksimalna vrijednost funkcije $f_1(x)$ je $\dfrac{4(k-8)(k-9)-4(k-5)^2}{4(k-8)}$, tj. $\displaystyle\max_{x\in\mathbb R}f_1(x)=\dfrac{47-7k}{k-8}$.

Minimalna vrijednost funkcije $f_2(x)$ je $\dfrac{4(k-4)(k+7)-4(k-1)^2}{4(k-4)}$, tj. $\displaystyle\min_{x\in\mathbb R}f_2(x)=\dfrac{5k-29}{k-4}$.

Ekstremne vrijednosti tih funkcija se podudaraju pa vrijedi:

$$\frac{47-7k}{k-8}=\frac{5k-29}{k-4}.$$

Sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu $k^2-12k+35=0$ čija su rješenja $k=5$, $k=7$. Oba broja zadovoljavaju uvjete ($4<k<8$), pa su to traženi parametri.

Za $k=5$, $\max f_1(x)=-4=\min f_2(x)$; za $k=7$, $\max f_1(x)=2=\min f_2(x)$.