4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, da postoje prosti brojevi $a$, $b$, $c$ različiti od 3, takvi da je $a^2+b^2+c^2$ prost broj.

Tada svaki od njih pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1 ili 2 (jer ne može biti djeljiv s 3), tj. može se zapisati u obliku $3k+1$ ili $3k+2$ za neki $k\in\mathbb Z$.

Kvadrati takvih brojeva daju ostatak 1 pri dijeljenju s 3:

$$\begin{aligned} (3k+1)^2&=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1,\\ (3k+2)^2&=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1. \end{aligned}$$

Znači da svaki od brojeva $a^2$, $b^2$, $c^2$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s 3, pa je njihov zbroj djeljiv s 3. Stoga njihov zbroj nije prost broj (jer je očito veći od 3). Sada je jasno da je pretpostavka bila pogrešna, pa zaključujemo da je barem jedan od brojeva $a$, $b$, $c$ jednak 3.

Drugo rješenje.

Ovo rješenje temelji se na poznatoj činjenici da su svi prosti brojevi osim 2 i 3 oblika $6k+1$ ili $6k-1$ za neki $k\in\mathbb Z$. Kvadrat takvog broja daje ostatak 1 pri dijeljenju sa 6. Slično kao u prvom rješenju, uz istu pretpostavku, zaključujemo da ne mogu svi brojevi $a$, $b$, $c$ biti veći od 3:

Kad bi brojevi $a$, $b$, $c$ svi bili različiti od 2 i 3, tada bi $a^2+b^2+c^2$ davao ostatak 3 pri dijeljenju sa 6, tj. taj broj bi bio djeljiv s 3 i očito veći od 3, pa ne bi mogao biti prost broj.

Preostaje eliminirati mogućnost da su jedan, dva ili sva tri brojeva $a$, $b$, $c$ jednaki 2, a nijedan jednak 3: Kad bi sva tri bila jednaka 2, tada bi bilo $a^2+b^2+c^2=12$, što nije prost broj. Ako su dva među njima jednaka 2, a treći veći od 3, onda zbroj njihovih kvadrata $a^2+b^2+c^2$ daje ostatak 3 pri dijeljenju sa 6, a kako je veći od 3, ne može biti prost broj. Ako je jedan od njih jednak 2, a preostala dva veća od 3, tada je zbroj njihovih kvadrata djeljiv sa 6, pa opet zaključujemo da $a^2+b^2+c^2$ nije prost broj. Dakle, jedan od ta tri broja mora biti jednak 3.

Napomena: Oba rješenja mogu se zapisati i pomoću kongruencija.