2. Zadatak

Traženi presjek je četverostrana piramida s vrhom $D$ i osnovkom u ravnini $A'B'C'D'$. Vrhovi njene osnovke su točke u kojima dužine $A_1D$, $A'D$, $B'D$ i $B_1D$ sijeku tu ravninu.

Dva vrha osnovke su upravo točke $A'$ i $B'$. Neka su $P$ i $S$ redom točke u kojima $DA_1$ i $DB_1$ sijeku tu ravninu.

Kako je $DA_1$ dijagonala strane $AA_1D_1D$ polaznog kvadra, točka $P$ je središte te strane i ujedno polovište dužine $A'D'$.

Kako je $DB_1$ prostorna dijagonala danog kvadra, točka $S$ je njegovo središte, i ujedno središte kvadrata $A'B'C'D'$.

Treba odrediti obujam četverostrane piramide $A'B'SPD$ čija je osnovka trapez $A'B'SP$, a visina dužina $DD'$.

Vrijedi

$$P(A'B'SP)=\frac12(|A'B'|+|SP|)\cdot|PA'| =\frac12\left(a+\frac a2\right)\cdot\frac a2 =\frac{3a^2}{8}.$$

Sada možemo izračunati traženi obujam

$$V(A'B'SPD)=\frac13P(A'B'SP)\cdot|DD'| =\frac13\cdot\frac{3a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}.$$

Napomena. Kvadrat $A'B'C'D'$ možemo podijeliti na 8 sukladnih pravokutnih trokuta od kojih tri čine promatrani trapez $A'B'SP$. Tako na još jedan način vidimo da je površina tog trapeza $\frac38a^2$.