5. Zadatak
U svaki vrh pravilnog dvanaesterokuta upisan je ili broj ili broj . Na početku je u vrh upisan broj , a u sve ostale vrhove broj . Dozvoljeno je istovremeno promijeniti predznak brojeva u bilo kojih šest uzastopnih vrhova tog dvanaesterokuta. Dokaži da ponavljanjem ovog postupka ne možemo postići da u vrh bude upisan broj , a u sve ostale vrhove broj .
Rješenje
Promotrimo brojeve u vrhovima , , i .
Promjenom predznaka u bilo kojih šest uzastopnih vrhova dvanaesterokuta promijenit će se predznak u točno dva od ta četiri vrha.
Zato se parnost ukupnog broja pozitivnih brojeva u vrhovima , , i ne mijenja dozvoljenim postupkom.
Na početku su u sva ta četiri vrha pozitivni brojevi, pa se dozvoljenim postupkom ne može postići da je u vrhu broj , a u svim ostalim vrhovima broj .
Napomena. Moguće je promatrati i neke druge četvorke koje sadrže vrh , ne sadrže vrh , a koje imaju svojstvo da se dozvoljenim postupkom mijenja predznak u točno dva od ta četiri vrha, npr. , , i .
Napomena. Umjesto parnosti ukupnog broja pozitivnih brojeva u promatrana četiri vrha, moguće je promatrati parnost zbroja ili predznak umnoška tih četiriju brojeva.