4. Zadatak

Budući da $p$ dijeli $n^2+3$ i $n^2+2n+4$, slijedi da $p$ dijeli i njihovu razliku

$$(n^2+2n+4)-(n^2+3)=2n+1.$$

Zato $p$ dijeli i $(2n+1)^2$, a iz uvjeta da $p$ dijeli $n^2+3$ slijedi da $p$ dijeli $4(n^2+3)$. Oduzimanjem zaključujemo da $p$ dijeli

$$(2n+1)^2-4(n^2+3)=4n-11.$$

Budući da $p$ dijeli $2n+1$ i $4n-11$, slijedi da $p$ dijeli

$$2\cdot(2n+1)-(4n-11)=13,$$

pa je $p=13$ jedini mogući prost broj koji zadovoljava uvjete zadatka.

Preostaje samo provjeriti da za $p=13$ postoji odgovarajući $n$. Stavimo $2n+1=13$, tj. $n=6$. Tada zaista $13$ dijeli $6^2+3=39$ i $7^2+3=52$.