3. Zadatak

Pretpostavimo da postoji $k$ takav da je $3^m+3^n+1=k^2$. Uočimo da je $k$ neparan broj. Vrijedi

$$3^m+3^n=k^2-1.$$

Kvadrat neparnog broja daje ostatak 1 pri dijeljenju s 8 (jer za prirodni broj $a$ vrijedi $(2a-1)^2=4a(a-1)+1$ i jedan od brojeva $a$ i $a-1$ je paran). To znači da 8 dijeli $k^2-1$. Budući da potencije broja 3 pri dijeljenju s 8 daju ostatke 1 i 3, broj $3^m+3^n$ može davati ostatke 2, 4 i 6 pri dijeljenju s 8, što je kontradikcija.

Prema tome, $3^m+3^n+1$ ne može biti kvadrat prirodnog broja.