1. Zadatak

Oduzimanjem zadanih jednadžbi dobivamo $y-x+x^2-y^2=x^3-y^3$, što je ekvivalentno

$$y-x+(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$

odnosno

$$(x-y)(-1+x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$

pa slijedi da je $x+y-1=x^2+xy+y^2$ ili $x-y=0$.

U prvom slučaju je $x+y-1=x^2+xy+y^2$, što možemo zapisati kao

$$y^2+(x-1)y+x^2-x+1=0.\tag{♠}$$

Ovu jednadžbu promatramo kao kvadratnu jednadžbu po $y$. Njena diskriminanta je

$$D=(x-1)^2-4(x^2-x+1)=-3x^2+2x-3.$$

Diskriminanta kvadratnog trinoma $-3x^2+2x-3$ je $-32<0$, pa vrijedi da je $D<0$ za svaki realni broj $x$, što povlači da jednadžba (♠) nema realnih rješenja za $y$. Dakle, u ovom slučaju nema rješenja.

U drugom slučaju je $y=x$ i obje jednadžbe postaju $x+x^2=x^3$, tj. $x(x^2-x-1)=0$. Slijedi da je $x_1=0$ ili $x^2-x-1=0$. Rješavanjem kvadratne jednadžbe dobivamo rješenja

$$x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Jedina rješenja su

$$(x,y)\in\left\{(0,0),\left(\frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right),\left(\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\right\}.$$

Napomena. Jednadžba $x+y-1=x^2+xy+y^2$ je ekvivalentna s

$$(x-1)^2+(y-1)^2+(x+y)^2=0,$$

koja nema rješenja jer ne postoje $x$ i $y$ takvi da je $x=1$, $y=1$ i $x+y=0$.