4. Zadatak

Neka su $p$ i $q$ dva paralelna pravca. Kružnica $k$ dodiruje pravac $p$ u točki $A$ i siječe pravac $q$ u različitim točkama $B$ i $C$ . Neka je $T$ točka na pravcu $p$ i neka dužine $TB$ i $TC$ sijeku kraći luk $\widehat{AC}$ redom u točkama $K$ i $L$ , različitima od $B$ i $C$ .

Dokaži da pravac $KL$ prolazi polovištem dužine $AT$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Neka je točka $P$ sjecište pravaca $p$ i $KL$ te $\angle TBC=x$ .

Službeni crtež prvog rješenja

Pravac $BT$ je presječnica paralelnih pravaca $p$ i $q$ pa je $\angle BTA=\angle TBC=x$ .

Četverokut $BCLK$ je tetivan, stoga vrijedi

\angle CLK=180^\circ-\angle KBC=180^\circ-\angle TBC=180^\circ-x

pa je $\angle KLT=180^\circ-\angle CLK=x$ .

Trokuti $PKT$ i $PTL$ su slični jer imaju zajednički kut pri vrhu $P$ te sukladne kutove $\angle KTP=\angle BTA=x$ i $\angle KLT=x$ . Zato je

\frac{|PK|}{|PT|}=\frac{|PT|}{|PL|},\qquad\text{tj.}\qquad |PK|\cdot|PL|=|PT|^2.

Budući da potencija točke $P$ u odnosu na kružnicu $k$ iznosi $|PK|\cdot|PL|=|PA|^2$ , konačno dobivamo $|PA|^2=|PT|^2$ . Dakle, $|PA|=|PT|$ , tj. točka $P$ je polovište dužine $AT$ .

Drugo rješenje.

Neka je točka $Y$ sjecište kružnice opisane trokutu $ATL$ i pravca $KL$ (različito od $L$ ).

Službeni crtež drugog rješenja

Kako je četverokut $AYTL$ tetivan slijedi $\angle TYL=\angle TAL$ . Zbog kuta između tetive $AL$ i tangente $p$ kružnice $k$ vrijedi $\angle TAL=\angle ABL$ , a budući da je i četverokut $AKLB$ tetivan, vrijedi $\angle ABL=\angle AKY$ . Dobivamo da je $\angle TYL=\angle TYK=\angle AKY$ što povlači $AK\parallel YT$ .

Iz tetivnog četverokuta $AYTL$ sada imamo $\angle YAT=\angle YLT$ . Kako je četverokut $BKLC$ tetivan, vrijedi $\angle YLT=\angle KLT=\angle KBC=\angle TBC$ . Budući da je $BT$ presječnica pravaca $p$ i $q$ , vrijedi i $\angle TBC=\angle ATB$ . Iz svega toga slijedi $\angle YAT=\angle ATB=\angle ATK$ , što povlači $AY\parallel KT$ .

Iz paralelnosti $AK\parallel YT$ i $AY\parallel KT$ dobivamo da je četverokut $AYTK$ paralelogram, pa pravac njegove dijagonale $KL$ prolazi polovištem dužine $AT$ .