7. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo $\alpha=|\angle BAC|$. Tada je $|\angle ACB|=2\alpha$ te $|\angle CBA|=180^\circ-3\alpha$.

Primjenom poučka o sinusima na trokut $ABC$ dobijemo

$$\frac{|BC|}{|CA|} =\frac{\sin\alpha}{\sin(180^\circ-3\alpha)} =\frac{\sin\alpha}{\sin3\alpha}.$$

Primjenom poučka o sinusima na trokut $AIC$ dobijemo

$$\frac{|AI|}{|CA|} =\frac{\sin|\angle ACI|}{\sin|\angle CIA|} =\frac{\sin\alpha}{\sin\left(180^\circ-\frac{3\alpha}{2}\right)} =\frac{\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}.$$

Budući da je $|BC|=|AI|$, izjednačavanjem prethodne dvije jednakosti dobijemo

$$\sin3\alpha=\sin\frac{3\alpha}{2}.$$

S druge strane, $\sin3\alpha=2\sin\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$, pa zaključujemo da je $\cos\frac{3\alpha}{2}=\frac12$.

Slijedi da je $\frac{3\alpha}{2}=60^\circ$, odnosno $\alpha=40^\circ$.

Konačno, $|\angle ACB|=80^\circ$ i $|\angle CBA|=60^\circ$.

Drugo rješenje.

Označimo $\alpha=|\angle BAC|$ i uvedimo točku $D$ takvu da je $ABCD$ paralelogram.

Sada vidimo da je $|\angle CAD|=|\angle ACB|=2\alpha$ i $|\angle DCA|=|\angle BAC|=\alpha$.

Uočimo da je $|\angle DCA|=\alpha=|\angle ACI|$, odnosno da je $A$ na simetrali kuta $|\angle DCI|$.

Točka $A$ je na simetrali dužine $\overline{DI}$ jer je $|AD|=|BC|=|AI|$.

Kako je točka $A$ na simetrali kuta $\angle DCI$ i simetrali dužine $\overline{DI}$, zaključujemo da je $A$ na opisanoj kružnici trokuta $CDI$.

Iz tetivnosti četverokuta $CDAI$ imamo $180^\circ=|\angle IAD|+|\angle DCI|=4.5\alpha$, odnosno $\alpha=40^\circ$.

Konačno, $|\angle ACB|=80^\circ$ i $|\angle CBA|=60^\circ$.

Napomena: Nije potrebno dokazivati tvrdnju da se simetrala kuta i simetrala nasuprotne stranice trokuta sijeku na njegovoj opisanoj kružnici.