2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrštavanjem $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ i $\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ dobivamo

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x =\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^2x\cos^2x}.$$

Kvadriranjem izraza $\sin^2x+\cos^2x=1$ dobijemo

$$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x.$$

Uvrštavanjem u gornju jednakost imamo

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x =\frac{1-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}-2.$$

Izračunajmo sada vrijednost izraza $\sin^2x\cos^2x$.

Kvadriranjem izraza $\sin x+\cos x=1.4=\frac75$ i uvrštavanjem $\sin^2x+\cos^2x=1$ dobivamo da je

$$\sin x\cos x=\frac{1.4^2-1}{2}=\frac{12}{25},$$

odakle slijedi da je

$$\sin^2x\cos^2x=\frac{144}{625}.$$

Ovime konačno dobivamo da je

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x =\frac{625}{144}-2=\frac{337}{144}.$$

Drugo rješenje.

Uvrštavanjem $\cos x=1.4-\sin x$ u osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2x+\cos^2x=1$ dobivamo

$$2\sin^2x-2.8\sin x+1.96=1.$$

Rješavanjem kvadratne jednadžbe dobivamo da je $\sin x=0.6$ ili $\sin x=0.8$.

U slučaju kada je $\sin x=0.6$, koristeći $\sin x+\cos x=1.4$, dobivamo da je $\cos x=0.8$, dok u slučaju $\sin x=0.6$ dobivamo $\cos x=0.8$.

U oba slučaja vrijedi da je

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x =\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x} =\frac9{16}+\frac{16}9=\frac{337}{144}.$$