4. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz uvjeta zadatka imamo

$$1=\log_ba\cdot\log_dc =\frac{\log a}{\log b}\cdot\frac{\log c}{\log d}.$$

Slijedi da je

$$1=\log_ab\cdot\log_cd =\log_da\cdot\log_bc =\log_ad\cdot\log_cb.$$

Sada je

$$a^{\log_bc} =a^{\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_cd} =a^{\log_ad} =d.$$

Analogno slijedi i $b^{\log_cd}=a$, $c^{\log_da}=b$ i $d^{\log_ab}=c$.

Konačno, dobivamo da je zadani izraz jednak $1$.

Drugo rješenje.

Iz uvjeta zadatka imamo

$$1=\log_ba\cdot\log_dc =\frac{\log a}{\log b}\cdot\frac{\log c}{\log d}.$$

Neka je

$$S=\frac{a^{\log_bc}\cdot b^{\log_cd}\cdot c^{\log_da}\cdot d^{\log_ab}}{abcd}.$$

Sada je

$$\begin{aligned} \log S &=\log a\log_bc+\log b\log_cd+\log c\log_da+\log d\log_ab\\ &\quad-\log a-\log b-\log c-\log d\\ &=\log a\cdot\frac{\log c}{\log b} +\log b\cdot\frac{\log d}{\log c} +\log c\cdot\frac{\log a}{\log d} +\log d\cdot\frac{\log b}{\log a}\\ &\quad-\log a-\log b-\log c-\log d\\ &=\log d+\log a+\log b+\log c-\log a-\log b-\log c-\log d\\ &=0. \end{aligned}$$

Konačno, $S=1$.