4. Zadatak

Kako su duljine kružnih lukova u omjeru $1:2$ i njihovi središnji kutovi moraju biti u istom omjeru. Zato je $\angle ASB=120^\circ$.

Trokut $SBC$ je jednakostraničan pa je $|SP|=\dfrac r2$ i $|SQ|=a-\dfrac r2$.

Iz trokuta $SDQ$ imamo

$$r^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(a-\frac r2\right)^2\quad\text{tj.}\quad5a^2-4ra-3r^2=0.$$

Kako je duljina stranice kvadrata pozitivan broj, zadovoljava samo rješenje

$$a=\frac{2+\sqrt{19}}5r.$$

Napomena. Zadatak se može riješiti i analitički.