5. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako s $x$ označimo znamenku desetica, a s $y$ znamenku jedinica traženog broja, tada ga možemo prikazati kao $10x+y$.

Zapišimo zadani uvjet:

$$10x+y+xy=(x+y)^2,$$

$x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $x\ne0$.

Sredimo li ovu jednadžbu dobit ćemo

$$x^2+(y-10)x+(y^2-y)=0.$$

To je kvadratna jednadžba po $x$. Njezina diskriminanta mora biti nenegativna, tj.

$$(y-10)^2-4\cdot(y^2-y)\ge0\quad\text{ili}\quad3y^2+16y-100\le0.$$

Ova nejednadžba je zadovoljena za $y\in\{0,1,2,3\}$, a nije zadovoljena za $y\ge4$.

Preostaje promatrati ova četiri slučaja:

$1^\circ$ $y=0$, $x^2-10x=0$, $x_1=0$, $x_2=10$, ne odgovara.

$2^\circ$ $y=1$, $x^2-9x=0$, $x_1=0$, $x_2=9$, odgovara samo $x=9$.

$3^\circ$ $y=2$, $x^2-8x+2=0$, $x$ nije prirodan broj.

$4^\circ$ $y=3$, $x^2-7x+6=0$, $x_1=1$, $x_2=6$.

Dakle, svi traženi brojevi su: 13, 63, 91.

Drugo rješenje.

Neka je traženi broj $\overline{xy}=10x+y$, $x$, $y$ su znamenke, i $x\ne0$. Tražimo broj za koji vrijedi

$$(10x+y)+xy=(x+y)^2.$$

Sređivanjem dobivamo $x^2+xy+y^2-10x-y=0$, $y(y-1)=x(10-x-y)$.

Uvrštavanjem $y=0,1,\ldots,9$ dobivamo

$y=0$, $x(10-x)=0$ što ne odgovara uvjetu $x\in\{1,2,\ldots,9\}$.

$y=1$, $x(9-x)=0$, $x=9$, tj. $\overline{xy}=91$.

$y=2$, $x(8-x)=2$, $x^2-8x+2=0$, $D=56$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$y=3$, $x(7-x)=6$, $x^2-7x+6=0$, $x=1$ i $x=6$, tj. $\overline{xy}=13$ i $\overline{xy}=63$.

$y=4$, $x(6-x)=12$, $x^2-6x+12=0$, $D<0$, nema rješenja.

$y=5$, $x(5-x)=20$, $x^2-5x+20=0$, $D<0$, nema rješenja.

$y=6$, $x(4-x)=30$, $x^2-4x+30=0$, $D<0$, nema rješenja.

$y=7$, $x(3-x)=42$, $x^2-3x+42=0$, $D<0$, nema rješenja.

$y=8$, $x(2-x)=56$, $x^2-2x+56=0$, $D<0$, nema rješenja.

$y=9$, $x(1-x)=72$, $x^2-x+72=0$, $D<0$, nema rješenja.

Treće rješenje.

Neka je traženi broj $\overline{xy}=10x+y$, $x$, $y$ su znamenke, i $x\ne0$. Tražimo broj za koji vrijedi

$$(10x+y)+xy=(x+y)^2.$$

Možemo, umjesto toga, u jednadžbu $y(y-1)=x(10-x-y)$ uvrštavati i $x=1,2,\ldots,9$.

$x=1$, $y(y-1)=9-y$, $y^2=9$, $y=3$, tj. $\overline{xy}=13$.

$x=2$, $y(y-1)=2(8-y)$, $y^2+y-16=0$, $D=65$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=3$, $y(y-1)=3(7-y)$, $y^2+2y-21=0$, $D=88$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=4$, $y(y-1)=4(6-y)$, $y^2+3y-24=0$, $D=105$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=5$, $y(y-1)=5(5-y)$, $y^2+4y-25=0$, $D=116$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=6$, $y(y-1)=6(4-y)$, $y^2+5y-24=0$, $y=3$, tj. $\overline{xy}=63$.

$x=7$, $y(y-1)=7(3-y)$, $y^2+6y-21=0$, $D=120$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=8$, $y(y-1)=8(2-y)$, $y^2+7y-16=0$, $D=113$, nema rješenja u $\mathbb Z$.

$x=9$, $y(y-1)=9(1-y)$, $y^2+8y-9=0$, $y=1$, tj. $\overline{xy}=91$.