1. Zadatak

Neka je $u=a+bi$, $v=c+di$. Označimo $L=(1+uv)(1+\bar u\bar v)$, $D=(1+u\bar u)(1+v\bar v)$.

Sada imamo:

$$\begin{aligned}L&=[1+(a+bi)(c+di)][1+(a-bi)(c-di)]\\&=[1+ac-bd+(ad+bc)i][1+ac-bd-(ad+bc)i]\\&=(1+ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\&=1+a^2c^2+b^2d^2+2ac-2bd-2abcd+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\&=1+a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2+2ac-2bd.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}D&=[1+(a+bi)(a-bi)][1+(c+di)(c-di)]\\&=(1+a^2+b^2)(1+c^2+d^2)\\&=1+a^2+b^2+c^2+a^2c^2+b^2c^2+d^2+a^2d^2+b^2d^2.\end{aligned}$$

Tada je

$$D-L=(a^2-2ac+c^2)+(b^2+2bd+d^2)=(a-c)^2+(b+d)^2\ge0.$$

Odavde slijedi da je zaista $L\le D$.

Drugo rješenje.

$$\begin{aligned}(1+uv)(1+\bar u\bar v)&\le(1+u\bar u)(1+v\bar v)\\\Leftrightarrow\quad uv+\bar u\bar v&\le u\bar u+v\bar v\\\Leftrightarrow\quad(u-\bar v)(\bar u-v)&\ge0\\\Leftrightarrow\quad(u-\bar v)\overline{(u-\bar v)}&\ge0\\\Leftrightarrow\quad|u-\bar v|^2&\ge0,\end{aligned}$$

što uvijek vrijedi.