4. Zadatak

Prema nejednakosti trokuta vrijedi

$$8=|a+b|+|b+c|+|c+a| =|a+b|+|a+c|+|-(b+c)| \ge|a+b+a+c-b-c|=|2a|$$

pa zaključujemo $|a|\le4$. Analogno dobivamo $|b|\le4$ i $|c|\le4$, pa slijedi

$$a^2+b^2+c^2\le4^2+4^2+4^2=48.$$

Jedan izbor $a$, $b$ i $c$ za koji se postiže vrijednost $48$ je $a=4$, $b=c=-4$, pa je to najveća vrijednost izraza.

Za najmanju vrijednost, prvo primijenimo nejednakost između kvadratne i aritmetičke sredine na izraze $|a+b|$, $|b+c|$ i $|c+a|$:

$$\sqrt{\frac{|a+b|^2+|b+c|^2+|c+a|^2}{3}} \ge\frac{|a+b|+|b+c|+|c+a|}{3} =\frac83.$$

Na svaki od pribrojnika u brojniku pod korijenom na lijevoj strani možemo primijeniti nejednakost

$$|x+y|^2=(x+y)^2\le2x^2+2y^2$$

(koja je ekvivalentna s $(x-y)^2\ge0$). Time dobivamo

$$\sqrt{\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{3}} =\sqrt{\frac{2((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))}{3}}$$ $$\ge\sqrt{\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{3}} =\sqrt{\frac{|a+b|^2+|b+c|^2+|c+a|^2}{3}} \ge\frac83.$$

Sređivanjem slijedi nejednakost

$$a^2+b^2+c^2\ge\frac{16}{3}.$$

Jednakost se postiže kada su svi brojevi $a$, $b$ i $c$ jednaki $\frac43$ ili $-\frac43$, pa je najmanja vrijednost izraza uistinu jednaka $\frac{16}{3}$.

Dakle, najmanja vrijednost zadanog izraza je $\frac{16}{3}$, a najveća $48$.