2. Zadatak

Desna strana jednakosti daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$ (primijetimo da je $2021=2019+2=3\cdot673+2$). Broj $3^a$ je djeljiv brojem $3$ za svaki prirodni broj $a$, stoga broj $-2^b$ mora dati ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$.

Primijetimo da broj $-2^b$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$ kada je $b$ neparan te ostatak $2$ kada je $b$ paran. Dakle, zaključujemo da je $b$ nužno paran. Neka je $b=2b_1$ za neki prirodni broj $b_1$.

Sada je $3^a-4^{b_1}=2021$. Promotrimo sada ostatak pri dijeljenju s $4$. Broj $2021$ daje ostatak $1$, dok broj $4^{b_1}$ daje ostatak $0$, pa zaključujemo da broj $3^a$ mora dati ostatak $1$. Slično kao kada smo gledali ostatke pri dijeljenju s $3$, zaključujemo da je nužno i $a$ paran, odnosno da postoji broj $a_1$ takav da je $a=2a_1$.

Sada je $9^{a_1}-4^{b_1}=2021$, odnosno

$$(3^{a_1})^2-(2^{b_1})^2=2021,$$

tj.

$$(3^{a_1}-2^{b_1})(3^{a_1}+2^{b_1})=2021.$$

Uzimajući u obzir da faktorizacija broja $2021$ na proste faktore broja glasi $2021=43\cdot47$ te da je u gornjoj jednakosti prvi faktor manji od drugog, imamo samo dvije mogućnosti: faktori u zadnjoj jednadžbi su redom jednaki $1$ i $2021$, ili $43$ i $47$

Iz prve mogućnosti slijedi $3^{a_1}-2^{b_1}=1$ i $3^{a_1}+2^{b_1}=2021$, odakle zbrajanjem dobivamo da je $2\cdot3^{a_1}=2022$, odnosno $3^{a_1}=1011$, što je nemoguće.

Iz druge mogućnosti slijedi $3^{a_1}-2^{b_1}=43$ i $3^{a_1}+2^{b_1}=47$, odakle zbrajanjem dobivamo da je $2\cdot3^{a_1}=90$, odnosno $3^{a_1}=45$, što je ponovno nemoguće.

Dakle, ne postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $3^a-2^b=2021$.