3. Zadatak

Neka je $S$ sjecište dijagonala $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$.

Pravci $\overline{ES}$ i $\overline{DC}$ su paralelni pa je prema Talesovom teoremu

$$\frac{|AE|}{|ED|}=\frac{|AS|}{|SC|}.$$

Kako su pravci $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ paralelni, zaključujemo da je $\angle BAS=\angle SCD$ i $\angle ABS=\angle CDS$, iz čega slijedi da su trokuti $ABS$ i $CDS$ slični prema K—K teoremu o sličnosti. Iz toga zaključujemo da je

$$\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{|AB|}{|CD|}.$$

Iz prethodne dvije jednakosti imamo

$$\frac{|AE|}{|ED|}=\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{|AB|}{|CD|}$$ $$\Longrightarrow\quad \frac{|AD|}{|ED|} =\frac{|AE|}{|ED|}+1 =\frac{|AB|}{|CD|}+1 =\frac{|AB|+|CD|}{|CD|} =\frac{|AD|}{|CD|},$$

odakle zaključujemo da je $|ED|=|CD|$. Odavde slijedi da je i $|AE|=|AB|$, tj. trokuti $ABE$ i $DEC$ su jednakokračni. Dakle, vrijedi $\angle ABE=\angle AEB$ i $\angle DEC=\angle DCE$. Također, vrijedi

$$\angle EAB=180^\circ-\angle AEB-\angle ABE =180^\circ-2\angle AEB \Longrightarrow \angle AEB=90^\circ-\frac12\angle EAB,$$

te slično $\angle DEC=90^\circ-\frac12\angle CDE$.

Kako su osnovice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ paralelne, imamo $\angle EAB+\angle CDE=180^\circ$.

Konačno,

$$\begin{aligned} \angle BEC &=180^\circ-\angle AEB-\angle DEC\\ &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle EAB\right) -\left(90^\circ-\frac12\angle CDE\right)\\ &=\frac12(\angle EAB+\angle CDE)=90^\circ, \end{aligned}$$

što je i trebalo dokazati.