2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka parabola ima jednadžbu $y^2=2px$, i neka je promatrana tetiva $\overline{AB}$. Tangente parabole u točkama $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ imaju jednadžbe

$$y=\frac p{y_1}x+\frac{px_1}{y_1},\quad y=\frac p{y_2}x+\frac{px_2}{y_2}.$$

Koordinate točke $T$ dobit ćemo rješavajući taj sustav dviju jednadžbi. Iz $\left(\dfrac p{y_1}-\dfrac p{y_2}\right)x=p\left(\dfrac{x_2}{y_2}-\dfrac{x_1}{y_1}\right)$ dobivamo apscisu $x=\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_2-y_1}$. Pripadna ordinata je $y=\dfrac p{y_1}\cdot\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_2-y_1}+\dfrac{px_1}{y_1}$, odnosno $y=\dfrac{p(x_2-x_1)}{y_2-y_1}$.

Nadalje, budući da je $y_1^2=2px_1$ i $y_2^2=2px_2$, vrijedi $y=\dfrac{\frac12y_2^2-\frac12y_1^2}{y_2-y_1}=\dfrac{y_1+y_2}2$ pa imamo $T\left(\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_2-y_1},\dfrac{y_1+y_2}2\right)$.

Polovište tetive $\overline{AB}$ je $P\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right)$.

Računamo koordinate polovišta $M(x_m,y_m)$ dužine $\overline{PT}$:

$$\begin{aligned} x_m&=\frac{\frac{x_2y_1-x_1y_2}{y_2-y_1}+\frac{x_1+x_2}2}2\\ &=\frac{x_2y_1-x_1y_2+x_2y_2-x_1y_1}{4(y_2-y_1)} =\frac{(x_2-x_1)(y_1+y_2)}{4(y_2-y_1)}. \end{aligned}$$

Odmah se vidi da je $y_m=\dfrac{y_1+y_2}2$. Konačno imamo:

$$\begin{aligned} 2px_m&=\frac{(2px_2-2px_1)(y_1+y_2)}{4(y_2-y_1)}\\ &=\frac{(y_2^2-y_1^2)(y_1+y_2)}{4(y_2-y_1)} =\left(\frac{y_1+y_2}2\right)^2=y_m^2 \end{aligned}$$

što znači da točka $M(x_m,y_m)$ leži na paraboli.

Drugo rješenje.

Neka je $T(x_0,y_0)$. Ostale oznake kao u prvom rješenju. Koordinate polovišta $P$ tetive $\overline{AB}$ su $\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right)$.

Polara $yy_0=p(x+x_0)$ točke $T$ (u odnosu na promatranu parabolu) je pravac $AB$, pa koordinate $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ točaka $A$, $B$, zadovoljavaju sustav

$$\begin{cases}yy_0=p(x+x_0)\\y^2=2px\end{cases}$$

te stoga i jednadžbu $y^2=2p\left(\dfrac{yy_0}p-x_0\right)$, tj. $y^2=2yy_0-2px_0$. To je kvadratna jednadžba po $y$, pa vrijedi $y_1+y_2=2y_0$. Zaključujemo da je ordinata točke $P$ jednaka $y_0$, dakle ordinati točke $T$.

Apscisa točke $P$ dobije se iz uvjeta da $P$ leži na polari, $x_p=\dfrac{y_py_0}p-x_0=\dfrac{y_0^2}p-x_0$, pa je $P\left(\dfrac{y_0^2}p-x_0,y_0\right)$.

Polovište dužine $\overline{PT}$ je točka $M\left(\dfrac{x_0+x_p}2,\dfrac{y_0+y_p}2\right)$, tj. $M\left(\dfrac{y_0^2}{2p},y_0\right)$.

Sada nije teško provjeriti da ona leži na paraboli, jer $2\cdot p\cdot\dfrac{y_0^2}{2p}=y_0^2$. (Alternativno, može se odrediti sjecište pravca $PT$ s parabolom i provjeriti da je ta točka polovište od $\overline{PT}$.)