5. Zadatak

Pretpostavimo da dobiveni zbrojevi $s_1,s_2,\ldots,s_{2010}$ pri dijeljenju s 2010 svi daju različite ostatke $r_1,r_2,\ldots,r_{2010}$. Ti su ostaci brojevi 0, 1, 2, …, 2009 (u nekom poretku) pa je zbroj svih ostataka jednak

$$R=0+1+2+\ldots+2009=\frac{2010\cdot2009}2=1005\cdot2009.$$

Zbroj promatranih zbrojeva je

$$S=s_1+s_2+\ldots+s_{2010}=2\cdot\frac{2010\cdot2011}2=2010\cdot2011.$$

Naravno, razlika svakog od brojeva $s_k$ i njegovog ostatka pri dijeljenju s 2010, $r_k$, je djeljiva sa 2010, pa bi i zbroj tih razlika

$$\sum_{k=1}^{2010}(s_k-r_k)=\sum_{k=1}^{2010}s_k-\sum_{k=1}^{2010}r_k=S-R$$

trebao biti djeljiv s 2010. No, razlika $S-R=2010\cdot2011-1005\cdot2009$ nije djeljiva s 2010, pa smo dobili kontradikciju. Pretpostavka da su svi ostaci $r_1,r_2,\ldots,r_{2010}$ različiti je pogrešna, dakle postoje dva jednaka ostatka $r_i$, $r_j$, odnosno dva zbroja $s_i$ i $s_j$ čija je razlika djeljiva sa 2010.