6. Zadatak

Dužine $\overline{BC}$ i $\overline{DE}$ četverokuta $BCDE$ okomite su na dužinu $\overline{CD}$, pa su međusobno paralelne. Budući da su jednakih duljina, četverokut $BCDE$ je paralelogram.

Dodatno, kako je stranica tog četverokuta $\overline{CD}$ okomita na te dvije stranice, i jednake je duljine, $BCDE$ je kvadrat.

Budući da je $BCDE$ kvadrat imamo da je $|BE|=|CD|=|AE|=|AB|$. Dakle, u trokutu $ABE$ sve stranice su jednake duljine, pa je zato to jednakostraničan trokut.

Posebno vrijedi $\angle EAB=60^\circ$, $\angle DEA=\angle DEB+\angle BEA=90^\circ+60^\circ=150^\circ$, te $\angle ABC=\angle EBC+\angle ABE=90^\circ+60^\circ=150^\circ$.

Trokut $ADE$ je jednakokračan, pa je zato

$$\angle DAE=\angle EDA=\frac12(180^\circ-\angle DEA)=15^\circ.$$

Analogno, trokut $ABC$ je jednakokračan, pa je zato $\angle BAC=15^\circ$.

U jednakokračnom pravokutnom trokutu $EBD$ zaključujemo $\angle EDB=45^\circ$.

Zato slijedi

$$\angle PAD=\angle EAB-\angle EAD-\angle CAB=30^\circ,$$ $$\angle PDA=\angle EDB-\angle EDA=30^\circ.$$

Zato je $\angle PAD=\angle PDA$, odakle zaključujemo da je trokut $PDA$ jednakokračan, odnosno da je $|PA|=|PD|$, što je i trebalo dokazati.