4. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $abc=0$, tada je neki od brojeva $a,b,c$ jednak nuli što je kontradikcija s uvjetom zadatka. Zato je $abc\ne0$.

Množenjem druge jednakosti iz teksta zadatka s $abc$ dobivamo

$$ab+bc+ac=abc.$$

Kvadriranjem jednakosti $a+b+c=0$ slijedi

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0,$$

odnosno

$$ab+bc+ac=-\frac12(a^2+b^2+c^2).$$

Uspoređujući dobivene vrijednosti za $ab+bc+ca$, dobivamo

$$abc=ab+bc+ac=-\frac12(a^2+b^2+c^2).$$

Kako je zbroj kvadrata realnih brojeva nenegativan broj, zaključujemo da je zadnji izraz nužno nepozitivan, odakle je $abc\le0$. Zajedno sa zaključkom s početka ($abc\ne0$) zaključujemo da je $abc<0$, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, $abc\ge0$.

Kao u prethodnom rješenju zaključimo da je $abc\ne0$, te da je druga jednakost ekvivalentna s

$$ab+bc+ac=abc.$$

Posebno, nijedan od brojeva $a$, $b$ i $c$ nije jednak nuli.

Kako je $abc\ne0$ i $abc\ge0$, nužno je $abc>0$. To je moguće ako je neparno mnogo brojeva $a,b,c$ pozitivno. No, zbog uvjeta $a+b+c=0$, nemoguće je da su svi pozitivni. Zato je jedan od njih pozitivan, a dva su negativna.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo $a>0$, $b<0$, $c<0$. Izrazimo li iz prve jednakosti

$$a=-b-c,$$

imamo sljedeći niz ekvivalentnih jednakosti:

$$\begin{aligned} ab+bc+ac&=abc\\ a(b+c)+bc&=abc\\ -(b+c)^2+bc&=abc\\ 0&=abc+(b+c)^2-bc\\ 0&=abc+b^2+c^2+bc. \end{aligned}$$

Brojevi $b^2$, $c^2$ i $bc$ su pozitivni realni brojevi kao umnošci dvaju negativnih, pa je cijela desna strana posljednje jednakosti pozitivna. Dakle, ona ne može biti jednaka nuli, pa smo dobili kontradikciju s našom pretpostavkom $abc\ge0$. Zato je zaista $abc<0$, što je i trebalo dokazati.