3. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je $n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)$.

Ako je $n$ paran broj, tada je $n^2$ djeljiv s 4, pa je zato izraz $n^2(n-1)(n+1)$ djeljiv s 4.

Ako je $n$ neparan broj, tada su brojevi $n-1$ i $n+1$ biti parni. Zbog toga je broj $(n-1)(n+1)$ djeljiv s 4 pa je samim time i izraz $n^2(n-1)(n+1)$ djeljiv s 4.

U oba slučaja izraz $n^2(n-1)(n+1)$ djeljiv je s 4.

S druge strane, budući da su $n-1$, $n$ i $n+1$ tri uzastopna cijela broja, točno jedan od njih je djeljiv s 3. Zato je i cijeli umnožak $n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)$ djeljiv s 3.

Kako smo dokazali da je traženi izraz djeljiv s 3 i 4, zaključujemo da je djeljiv s 12 za sve prirodne brojeve $n$.

Drugo rješenje.

Dokažimo da je $n^4-n^2$ djeljivo s 4 za sve prirodne brojeve $n$.

Ako je $n$ paran broj, tada je $n=2k$ za neki $k\in\mathbb{N}$. U tom slučaju je $n^4-n^2=4(4k^4-k^2)$, tj. izraz $n^4-n^2$ je djeljiv s 4.

Ako je $n$ neparan broj, tada je $n=2k+1$ za neki $k\in\mathbb{N}_0$. U tom slučaju je

$$n^2=4(k^2+k)+1 \quad \text{i} \quad n^4=4\bigl(4(k^2+k)^2+2(k^2+k)\bigr)+1.$$

Dakle, $n^2$ i $n^4$ daju ostatak 1 pri dijeljenju s 4, pa je onda njihova razlika $n^4-n^2$ djeljiva s 4.

Dokažimo još da je broj $n^4-n^2$ djeljiv s 3 za sve prirodne brojeve $n$.

Ako je $n$ djeljiv s 3, tada je $n=3k$ za neki prirodan broj $k$. Tada je $n^4-n^2=9(9k^4-k^2)$, tj. broj $n^4-n^2$ je djeljiv s 3.

Ako je $n$ oblika $n=3k+1$ za neki $k\in\mathbb{N}_0$, tada je $n^2=3(3k^2+2k)+1$. Ako je oblika $n=3k+2$, za neki $k\in\mathbb{N}_0$, tada je $n^2=3(3k^2+4k+1)+1$.

U oba slučaja kada $n$ nije djeljiv s 3 broj $n^2$ oblika je $3a+1$ za neki $a\in\mathbb{N}_0$, pa je zato

$$n^4=(n^2)^2=(3a+1)^2=3(3a^2+2a)+1.$$

Konačno, imamo da je $n^4-n^2=3(3a^2+a)$, odnosno da je izraz $n^4-n^2$ djeljiv s 3.

Kako je izraz $n^4-n^2$ djeljiv s 3 i 4, zaključujemo da je $n^4-n^2$ djeljiv s 12 za sve prirodne brojeve $n$.