7. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je $d_5=289=17^2$.

Kako je $d_5$ djelitelj od $n$, slijedi da je $n=d_5m=17^2\cdot m$ za neki prirodan broj $m$.

Očito $m\ne1$ jer bi tada vrijedilo

$$d_6=n=d_5m=d_5<d_6.$$

Ako je $m=17$, tada je $n=17^3$. Međutim, svi djelitelji broja $17^3$ su $1$, $17$, $17^2$ i $17^3$. Tada bi $n$ imao 4 djelitelja, što je kontradikcija s uvjetom zadatka da $n$ ima točno 6 djelitelja.

Slično zaključujemo da u slučaju $m=17^2$ broj $n$ ima ukupno samo 5 djelitelja.

Budući da je $m$ različit od $1$, $17$ i $17^2$, iz $n=17^2\cdot m$ zaključujemo da su

$$1,\ 17,\ m,\ 17m,\ 17^2 \text{ i } 17^2m$$

različiti djelitelji broja $n$ (u nekom poretku). Budući da je njih točno 6 zaključujemo da su to ujedno i svi djelitelji od $n$.

Budući da su $m$ i $17$ veći od 1 i manji od $17m$ (jer je $m\ne1$) imamo da je ili $d_2=17$ (i time $d_3=m$) ili $d_2=m$ (i $d_3=17$).

Ako je $d_2=17$, tada je $d_3=10+d_2=27=3^3$, pa imamo da je $n=17^2\cdot3^3$. Međutim, to rješenje otpada jer $17^2\cdot3^3$ ima više od 6 djelitelja.

Ako je $d_3=17$, tada je $m=d_2=d_3-10=7$, pa imamo da je $n=17^2\cdot7$.

Direktnom provjerom vidimo da broj $17^2\cdot7=2023$ zaista ima 6 djelitelja, i da mu je 289 peti po veličini.

Dakle, $n=17^2\cdot7=2023$ je jedini broj s traženim svojstvom.

Drugo rješenje.

Kako je $d_5=289$ djelitelj od $n$, a $17$ njegov djelitelj, zaključujemo da je $17$ djelitelj i broja $n$.

Kako je $d_1=1<17<17^2=d_5$, imamo tri mogućnosti: $d_2=17$, $d_3=17$ ili $d_4=17$.

Ako je $d_2=17$, tada je $d_3=10+d_2=27$. No, tada $3\mid27$ i $d_3=27\mid n$, pa je i 3 djelitelj broja $n$. On je manji od 17, što daje kontradikciju s $d_2=17$.

Ako je $d_3=17$, tada je $d_2=d_3-10=7$. U tom slučaju svi brojevi

$$1,\ 7,\ 17,\ 7\cdot17,\ 17^2,\ 7\cdot17^2$$

djelitelji su broja $n$. Njih ima 6, što znači da ih ne smije biti više, što je moguće tek ako je $n$ jednak zadnjem od njih: $n=7\cdot17^2=2023$.

Direktnom provjerom vidimo da broj $17^2\cdot7=2023$ zaista ima 6 djelitelja (što vidimo i odozgo), i da mu je 289 peti po veličini.

Preostaje slučaj $d_4=17$.

Primijetimo da je $d_2$ relativno prost sa 17 budući da je manji od njega.

Kako je dodatno $d_2\mid n$ i $17\mid n$, zaključujemo da $17d_2\mid n$, tj. broj $17d_2$ je djelitelj broja $n$.

Dakle, postoji $i\in\{1,2,3,4,5,6\}$ takav da je $d_i=17d_2$, te da su svi djelitelji poredani po veličini. S druge strane, vrijedi

$$d_4=17<17d_2<17^2=289=d_5,$$

te time dobivamo kontradikciju.

Dakle, $n=17^2\cdot7=2023$ je jedini broj s traženim svojstvom.