5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo brojeve koji su početno napisani na ploči redom s $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{2023}$ i neka je $s=x_1+x_2+\ldots+x_{2023}$.

Budući da nakon prve zamjene brojeva na ploči ponovo dobijemo iste brojeve, slijedi da će i nakon bilo koje druge zamjene na ploči pisati početni brojevi.

Prema tome umnožak svih brojeva na ploči će u svakom trenutku biti isti umnošku početnih brojeva na ploči. Ista tvrdnja vrijedi i za zbroj brojeva na ploči.

Nakon prve zamjene brojeva na ploči će tada pisati brojevi $s-x_1$, $s-x_2$, $\ldots$, $s-x_{2023}$.

Kako su to isti brojevi koji su početno pisali na ploči imamo da je njihov zbroj također jednak $s$, tj.

$$s=(s-x_1)+(s-x_2)+\ldots+(s-x_{2023})=2023s-(x_1+x_2+\ldots+x_{2023})=2022s.$$

Iz gornje jednadžbe slijedi da je $s=0$.

Prema tome, brojevi na ploči nakon prve zamjene su $-x_1$, $-x_2$, $\ldots$, $-x_{2023}$.

Kako se ponovo radi o istim brojevima koji su početno bili napisani na ploči imamo da će umnožak svih brojeva prije i nakon zamjene biti jednak, odnosno

$$x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_{2023}=(-x_1)\cdot(-x_2)\cdot\ldots\cdot(-x_{2023})=-x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_{2023}.$$

Iz gornje jednakosti imamo $x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_{2023}=0$.

Dakle, umnožak svih brojeva na ploči u svakom trenutku će uvijek biti 0.

Drugo rješenje.

Kao u gornjem rješenju zaključimo da ako su brojevi na ploči nakon prvog poteza jednaki suprotnim vrijednostima brojeva napisanim na ploči na početku, te da se umnožak nakon svakog poteza ne mijenja.

Bez smanjenja općenitosti, neka je $x_1>x_2>\ldots>x_{2023}$. Tada vrijedi $-x_{2023}>-x_{2022}>\ldots>-x_1$. Kako su brojevi koji su pisali na ploči na početku jednaki onima nakon izvršenja jednog poteza, nužno je

$$x_1=-x_{2023},\ x_2=-x_{2022},\ \ldots,\ x_{2023}=-x_1.$$

Posebno, $x_{1012}=-x_{1012}$, odnosno $x_{1012}=0$.

Kako je jedan od brojeva na ploči jednak nuli, zaključujemo da je umnožak tih brojeva jednak nula, te će tako biti i nakon svakog poteza.