4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $N$ nožište visine iz vrha $A$, s $P$ polovište stranice $\overline{BC}$, s $R$ nožište okomice iz $P$ na $\overline{AC}$, $|AB|=c$, $|BC|=a$, $|CA|=b$.

Trokuti $BNA$ i $PNA$ su sukladni (stranica i dva kuta) odakle dobivamo

$$|AB|=|AP|=c,\quad|BN|=|NP|=\frac12|BP|=\frac a4.$$

Nadalje, iz sukladnosti trokuta $PNA$ i $PRA$ (stranica i dva kuta) je

$$|AR|=|AN|\quad\text{i}\quad|PR|=|PN|=\frac a4.$$

Po Pitagorinom poučku za trokut $PRC$ je

$$|RC|^2=\left(\frac a2\right)^2-\left(\frac a4\right)^2\quad\Rightarrow\quad|RC|=\frac{a\sqrt3}4.$$

Iz sličnosti trokuta $ANC$ i $PRC$ (dva kuta) imamo

$$\frac{|NC|}{|AN|}=\frac{|RC|}{|PR|}\quad\text{tj.}\quad\frac{\frac{3a}4}{|AN|}=\frac{\frac{a\sqrt3}4}{\frac a4}$$

odakle je $|AR|=|AN|=\dfrac{a\sqrt3}4=|RC|$.

Odavde dobivamo da su trokuti $PRA$ i $PRC$ sukladni (stranica i dva kuta), pa je $\gamma=\dfrac\alpha3$.

Iz trokuta $BNA$ imamo $\beta+\dfrac\alpha3=90^\circ$ odakle je $\beta+\gamma=90^\circ$. Napokon iz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ dobivamo $\alpha=90^\circ$, $\gamma=30^\circ$ i $\beta=60^\circ$.

Drugo rješenje.

Uz oznake na slici, prema poučku o simetrali kuta vrijedi: $|AN|:|AC|=|NP|:|PC|$,

tj. $|AC|=2|AN|$,

pa kako je $\angle ANC=90^\circ$ uočavamo da je trokut $ANC$ polovica jednakostraničnog trokuta, pa je $\gamma=30^\circ$,

$\dfrac23\alpha=60^\circ$, $\alpha=90^\circ$ i konačno $\beta=60^\circ$.