2. Zadatak

Dana nejednakost je ekvivalentna sa

$$\frac{2+2x^5-x-x^2-x^3-x^4}{1+x^5}\ge0.$$

Kako je $1+x^5>0$ za $x>-1$ dovoljno je dokazati nejednakost

$$S=2+2x^5-x-x^2-x^3-x^4\ge0.$$

Imamo:

$$\begin{aligned}S&=(1-x)+(1-x^2)+(x^5-x^3)+(x^5-x^4)\\&=(1-x)+(1-x^2)+x^3(x^2-1)+x^4(x-1)\\&=(1-x)(1-x^4)+(1-x^2)(1-x^3)\\&=(1-x)(1-x^2)(1+x^2)+(1-x^2)(1-x)(1+x+x^2)\\&=(1-x)(1-x^2)(2+x+2x^2)\\&=(1-x)^2(1+x)(2x^2+x+2).\end{aligned}$$

Sada je očito da je za svaki $x>-1$ izraz $S$ prikazan kao produkt nenegativnih faktora, pa je $S\ge0$, što je i trebalo dokazati.