3. Zadatak

Označimo $A=n^{19}-n^7$. Faktorizacijom dobivamo

$$\begin{aligned}A&=n^7(n^{12}-1)=n^7(n^6-1)(n^6+1)\\&=n^7(n-1)(n+1)(n^4+n^2+1)(n^2+1)(n^4-n^2+1)\\&=(n-1)n(n+1)(n^2+1)\cdot B,\quad B\in\mathbb N.\end{aligned}$$

Kako su $n$ i $n+1$ uzastopni prirodni brojevi, jedan od njih je paran.

Jedan od tri uzastopna cijela broja, $n-1$, $n$, $n+1$ je djeljiv s 3.

Ako je $n=5k$, $k\in\mathbb N$, $n^2$ je djeljiv s 5.

Ako je $n=5k\pm1$, $k\in\mathbb N$, $n^2-1$ je djeljiv s 5.

Ako je $n=5k\pm2$, $k\in\mathbb N$, $n^2+1$ je djeljiv s 5.

Dakle, $(n-1)n(n+1)$ je djeljiv i s 2 i s 3 i s 5 pa je onda i $A$ djeljiv s $2\cdot3\cdot5=30$.

Napomena 1. Djeljivost s 10 može se dokazati promatranjem zadnje znamenke.

Napomena 2. Djeljivost s 5 može se dokazati i pomoću Fermatovog teorema.